证明两个独立高斯变量的和差是独立的。

x1, x2, 是iid高斯 (mu, sigma^2)。 那么x1+x2, x1 - x2 也是独立的高斯。

这个题目以前证过， 从他们的概率分布开始 最后能推出和差的pdf。 前几天被别人的一句无心的话点醒了。：

“对于高斯变量， 不相关 等价于 独立”

对啊！

E[(x1+x2)(x1-x2)] = 0. QED.

当然值得注意的一些废话：
1. 独立高斯的和  差 也是高斯。
2. 两个高斯的和 差 的range = (-inft, +inft)




//---------------如果不是 identical distributed 的呢？
独立高斯
x1 ~ N (mu1, sig1^2 )
x2 ~ N (mu2, sig2^2 )

E[(x1+x2)(x1-x2)] =  E(x1^2) - E(x2^2) = sig1^2 + mu1^2 - sig2^2 - mu2^2

如果为0 ， 就成了！

概率中的 独立 和 不交合 independent vs. disjoint 事件

学而不思则罔！

ind -   独立

mutually exclusive, disjoint -  不交合， 不相关， 互斥。。。。。

如果两个事件不相关， 就是不能同时发生， 那么他们一定不独立！

disjoint ---> not ind

ind ----> not disjoint.  （独立则可同时发生）

所以两个事件之间的关系只有：

1. ind and not disjoint. 

2. not ind and disjoint. 

 具体到概率的应用上

///------------------------------废话 基础知识 。

如果两个事件 A B 独立 。P(AB ) = P(A)P(B). 

这个更多的是从bayes 的角度出发： P(A|B) = P(A)

对于任意两个时间  P(A or B ) = P(A) +P(B) +P(A and B), 可以从Venn diagram 有直观的了解（但是非严格证明）

进而， 两个事件disjoint:  P(A or B ) = P(A ) + P(B)

/// ---------------------一个例子

考虑跑两个银币。 TT, HH TH, HT.

1. ind and not disjoint. 

A =  第一次抛出头 = {HH,HT}

B = 第二次抛出头 = {TH, HH}

共同事件 HH, so they are no disjoint。

2. not ind and disjoint.

这个就多了去了。 

A =  {HH}

B = {TT}

两事件不能同时发生，不独立。