关于 指数分布 最小和无记忆

如果有 x1, x2, .... ,xn, n 个 iid（独立同分布） 的指数分布。 expo(mu)

min(x1,...., xn) 也是一个指数分布 expo(n*mu)。 证明很简单：

P(min <y) = 1- P(min > y) = 1- (P(所有都大于 y)) =.....

而且要牢记 exponential 的memoryless（无记忆） 的特性

由此可以导出一些意思的东西。 

-------------------------------一道题目

你走进银行  一共有四个柜台，a,b,c,d 在被服务， 他们的服务时间服从指数分布 iid expo(1). i.e. 平均每人花一分钟， 在你后面没有别人进来， 

问你是最后一个离开的概率是多少？ 

1/4！ 多好看！ 因为首先 abcd中有一个人先完成了手续就离开了 这是你上前被服务。 从这个时间点开始， 在柜台的四个人都是 崭新的exponential分布！（memoryless.）（至于这是否符合现实， 就不是我能管的事情了。 ）

四个崭新的同分布， 其中任一个最大的概率是1/4.

问你要等待的时间是多少？

当然是expected time.  首先你要等一个E[min(a,d,c,d)] = 1/4, 因为 min(a,b,c,d) ~ expo(4). 

然后就是你的服务时间。 

总时间 = 1/4+1 = 5/4

问a是最后一个离开的概率是多少？

用全概率公式做

a 如果是第一个离开的， 那他/她是最后一个离开的概率是~~~~~~~~ 0 （废话）

a 如果不是第一个离开的，with probability 3/4, (w.p.) 这是你进入柜台。 那他是最后一个离开的概率是1/4

所以a 是最后一个离开的概率是 3/4*1/4 = 3/16

这个有一个巧解（不是巧姐！） ，

1. a.b.c,d 其实是不可分辨的 indistinguishable. 

2. 包括你在内的五个人中总有一个人 是要最后离开 （再次废话）

所以 排除你是最后一个离开的概率  然后平分：

(1-1/4)/4 = 3/16。

看 有时候废话的力量如此之大！